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第4節：第一章從希臘說起，講到日耳曼‐‐古典時期到中世紀

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羅馬人比希臘人更驍勇善戰。他們用來治理帝國的法律比希臘人高明，對打仗和治國方面都極為有用的工程建築，水準也在希臘人之上。可是，在其他方面，就連羅馬人也承認希臘人比他們高明，

圖1‐2公元1世紀時的羅馬帝國疆域

心甘情願地卑躬屈膝、複製仿效。羅馬的精英分子除了說自己的母語拉丁語，也會說希臘語；他們把兒子送到雅典上大學，要不就僱個希臘奴隸在家教小孩。因此，我們談到羅馬帝國時，常形容它是&ldo;希臘羅馬風格&rdo;，是因為羅馬人樂見這樣的發展。

? 希臘人有多聰明？

從幾何學中最容易看出希臘人有多聰明。我們在學校裡學的幾何就是承襲自希臘。很多人可能已經忘了幾何，所以我們從最基本的說起。

幾何學的運作是：從幾個基本定義出發，從中延伸出其他規則。它的起始是&ldo;點&rdo;，希臘人為&ldo;點&rdo;下的定義是：有定位但沒有量值的東西。其實它當然也有量值，像這頁下方的點就有寬度（直徑），

不過幾何可說是一種假想的世界，一個純粹的世界。其次是有長度但沒有寬度的&ldo;線&rdo;，再來是&ldo;直線&rdo;的定義：兩點之間最短的線。根據這三個定義，你可以建立出圓的定義：首先，它是一條能造出一個封閉圖形的線。可是，你要怎麼形容&ldo;圓&rdo;呢？仔細想想，圓還真難描述。它的定義是：這個圖形當中有個中心點，從這個固定點連線到這個圖形的所有直線都是等距。

除了圓形，你還可以定義出可無限延伸但永遠不會相交的平行線，以及各式各樣的三角形、正方形、長方形等常見形狀。這些形體，無一不是由線組成，除了各有定義明確、清楚的特徵外，連彼此之間各種交集和重疊的可能性，都被希臘人一一探討過。一切都可藉由前面已建立的定義得到證明。舉例來說，只要利用平行線的特性，即可證明三角形的三個角加起來一共是180度。

幾何學是個簡單、優雅、邏輯的系統，非常賞心，也非常之美。美？希臘人確實認為它很美。

而從希臘人學習幾何的動機，也可窺見他們的心智。我們在學校裡做幾何，是把幾何當習題來做，但希臘人並不僅以習題視之，也不是因為它在測量或導航方面有實際用途。在他們眼裡，幾何學是引導人類認知宇宙本質的一個途徑。當我們環顧四周，被眼前形形色色、豐富多樣的

幾何的活用

平行線不會相交。我們可以為這個特色下個定義：一條線穿過兩條平行線，會造成兩個相等的錯角；如果這兩個角不相等，兩條線一定會交集或岔開，換句話說，就是不平行。我們用希臘字母來代表角度，左圖中的α即是兩個相等的錯角。將希臘字母用在幾何裡，是提醒人們不忘本。我們這裡用了三個字母：α、β、&gaa;。

第5節：第一章從希臘說起，講到日耳曼‐‐古典時期到中世紀

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從這個定義出發，可求出三角形三個內角的總和。右上圖中，我們把三角形abc置於兩條平行線當中。利用已知數去求未知數，是幾何學的奧妙所在。由於平行線的錯角相等，可知a點的α角與b點的α角度相同。同樣，c點的&gaa;角也與b點的&gaa;角相同。上面那條平行線的b點是由三個角所組成：α+β+&gaa;。這三個角組成一條直線，而我們知道，直線是180度。