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2、關於體積計算的劉徽定理一般地說，柱體或多面體的體積計算較比容易解決，而圓錐、圓臺之類的體積就難以求得。劉徽經過苦心思索，終於找到了一條途徑，他分別做圓錐的外切正方錐和圓臺的外切正方臺，結果發現：&ldo;求圓亭（圓臺）之積，亦猶方冪中求圓冪，圓面積與其外切正方形的面積之比為π∶4，由此他推得：圓臺（錐）的體積與其外切正方臺（錐）的體積之比，也是π∶4。很顯然，如果知道了正方臺（錐）的體積，即可求得圓臺（錐）的體積。劉徽這個成果，看似簡單，實際起著繼往開來的重要作用，故有的現代數學家稱之為&ldo;劉徽定理&rdo;。在古代沒有微積分的時候，這條定理起著微積分的作用，在現代數學中仍有其價值。劉宋時祖沖之、祖𣈶父子繼承劉徽定理而得出更為進步的祖氏原理。在西方，直到1635年義大利數學家卡瓦列利才有了與祖氏父子類似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比劉徽更遲了一千三百多年。

3、十進小數的應用在數學計算或實際應用中總不免出現奇零小數，在劉徽以前，一般是用分數或命名制來表示，如&ldo;一升又五分升之三&rdo;，即升。或七分八厘九毫五忽&rdo;等，在位數較少時，尚可湊合，當小數位數太多時，便很不方便，因之劉徽建立了十進分數制。他以忽為最小單位，不足忽的數，統稱之為微數，開平方不盡時，根是無限小數，這又是無限現象。他說：&ldo;微數無名者以為分子，其一退以十為分母，再退以百為母，退之彌下，其分彌細，則朱冪（已經開出去的正方形面積）雖有所棄之數（未能開出的部分），不定言之也&rdo;。用現代方法寫其方根近似值是忽。

劉徽在對奇零小數的處理上所創立的十進小數記法，在世界數學史上也是一項重要的成就，外國的同樣方法，到十四世紀才出現，比劉徽晚了千餘年。

4、改進了線性方程組的解法《九章算術》中有一章專講線性方程組問題。用一種&ldo;直除法&rdo;求解，即解方程組時把多個未知數逐步減少到一個未知數，然後反過來求出所有未知數的值。&ldo;直除法&rdo;的消元（未知數）要透過對應項係數累減的辦法來完成，比較麻煩。劉徽對&ldo;直除法&rdo;加以改進，在解二元一次方程組時，用了&ldo;互乘對減&rdo;的方法，一次消去一項，如同後來的加減消元法。劉徽雖然只用過一次&ldo;互乘對減法&rdo;，但他知此法帶有普遍性，可以推廣到任何元數的線性方程組。劉徽還使用配分比例法解線性方程組，也是有創造性的成果。在歐洲，直到十六世紀法國數學家布丟解線性方程的方法才與《九章算術》的&ldo;直除法&rdo;相似，然而已比《九章算術》晚了一千七百多年，而且沒有劉徽改進的解法好。

5、總結和發展了重差術我國古代，將用&ldo;表&rdo;（標杆）或&ldo;矩&rdo;（刻劃以留標記）進行兩次測望的測量方法稱做&ldo;重差術&rdo;。《九章算術注》中第九章《句股》，主要講測量高、深、廣、遠問題，說明當時測量數學和測繪地圖已有相當水平。劉徽《重差》一卷所以被改稱《海島算經》就是因為其第一題是講測量海島的。&ldo;重差&rdo;之名，古已有之，劉徽對之進行了深入而具體的研究，他解釋重差的含義說：&ldo;凡望極高，測絕深，而兼知其遠者，必用重差，勾股則必以重差為率，故曰：重差也&rdo;。劉徽的《海島算經》共有九個應用題，都有解法和答案。其解法都可以變成平面三角公式，起著與三角同等的作用，可說是我國古代特有的三角法。

關於劉徽的身世，因史書失載，難以確知。《宋史》卷105