第133章 深探等差數列(第2/3 頁)

久，一位學子說道：“先生，我設這三項分別為 a - d ，a ，a + d ，然後根據已知條件列出方程組，可以求出 a 和 d ，進而得到通項公式。”

戴浩文說道：“那你來具體解一下這個方程組。”

學子在黑板上寫道：“(a - d) + a + (a + d) = 12 ， (a - d)2 + a2 + (a + d)2 = 40 。 解第一個方程得 3a = 12 ，a = 4 。將 a = 4 代入第二個方程得 (4 - d)2 + 16 + (4 + d)2 = 40 ，化簡得到 16 - 8d + d2 + 16 + 16 + 8d + d2 = 40 ， 2d2 = 40 - 48 ， 2d2 = -8 ，d2 = -4 （捨去）或者 d = 2 ，d = -2 。所以當 d = 2 時，通項公式為 an = 2 + 2(n - 1) = 2n ；當 d = -2 時，通項公式為 an = 8 - 2(n - 1) = 10 - 2n 。”

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戴浩文說道：“解得很好。那我們再來看一個更復雜的問題。已知一個等差數列的前 n 項和為 sn ，且滿足 sn / n 是一個等差數列，求這個原數列的通項公式。”

學子們再次陷入沉思，這次討論的時間更長了。

終於，一位學子說道：“先生，我覺得可以先設 sn / n 的通項公式，然後透過 sn - sn - 1 求出原數列的通項公式。”

戴浩文說道：“不錯，那你來試試看。”

學子開始推導：“設 sn / n = bn ，則 bn = b1 + (n - 1)c ，sn = n(b1 + (n - 1)c) ，當 n ≥ 2 時，an = sn - sn - 1 = n(b1 + (n - 1)c) - (n - 1)(b1 + (n - 2)c) ，化簡後得到 an = b1 + (2n - 2)c - (n - 1)c = b1 + (n - 1)c ，當 n = 1 時，a1 = s1 = b1 ，所以 an = b1 + (n - 1)c 。”

戴浩文說道：“非常好。透過這些問題，大家對等差數列的理解是不是更加深入了？”

學子們紛紛點頭。

就在這時，一位權貴子弟說道：“先生，這些知識雖然有趣，但於我今後仕途，究竟有何實際用處？”

戴浩文正色道：“莫要輕視這知識。為官者，需明算賬、善規劃。比如在稅收分配、資源排程等方面，若能運用等差數列的知識，便能做到合理安排，使百姓受益。”

那權貴子弟聽後，若有所思地點了點頭。

戴浩文繼續說道：“再如，在軍事佈陣中，士兵的排列亦可看作等差數列，知曉其規律，便能更好地指揮作戰。”

學子們恍然大悟，對等差數列的實用性有了更深刻的認識。

此後的日子裡，戴浩文不斷地丟擲各種複雜的等差數列問題，引導學子們思考和探索。

有一天，一位學子問道：“先生，如何判斷一個數列是否為等差數列呢？”

戴浩文回答道：“可以透過定義，即後一項與前一項的差是否為常數。也可以透過等差中項的性質，若 2b = a + c ，則 a ，b ，c 成等差數列。”

又有學子問：“先生，等差數列的求和公式有沒有其他的推導方法？”

戴浩文笑了笑，說道：“當然有。我們可以將數列倒序相加，也能得到求和公式。”

說著，