第566章 線性和非線性(第1/1 頁)

線性與非線性的故事：魔法橋與迷宮之路

在一個神秘的王國裡，有一座連線兩個城市的橋，它是一條筆直的道路，所有旅人只要按照固定的方向行走，就一定能順利到達目的地。可是，通往魔法城堡的道路卻並不是這樣，它是一座充滿彎曲通道、隱藏門和迷宮的複雜城堡，只有聰明的冒險者才能找到正確的路徑。

在數學和機器學習的世界裡，這座筆直的橋就是“線性”關係，而錯綜複雜的迷宮就是“非線性”關係。

1 什麼是線性？（筆直的橋）

線性（lear） 代表的是一種簡單、可預測的關係，就像一座筆直的橋，旅人從出發，按照固定的方向前進，一定會抵達終點。

數學上，線性關係的公式一般是這樣的：

其中：

? 是輸入變數（比如人的身高、體重）。

? 是權重，決定了輸入對結果的影響。

? 是偏置，調整整體水平。

在二維平面上，線性關係畫出來的就是一條直線，在更高維度，它可能是一條平面或超平面，但本質上都是筆直的，沒有彎曲。

線性的特點

? 簡單易懂：所有的變化是勻速的、成比例的，不會突然拐彎或出現複雜變化。

? 可預測：只要知道輸入，就可以直接計算出輸出，沒有意外情況。

? 侷限性：不能處理複雜問題，比如分類問題（比如識別貓和狗）或非線性資料。

現實世界中的線性關係

1 工資計算：如果你的工資是固定時薪 x 工作小時數，那麼你的收入和工時呈線性關係。

2 距離計算：如果你騎車的速度是 10 公里/小時，騎 2 小時就能騎 20 公里，這是一種線性關係。

3 溫度轉換：攝氏溫度和華氏溫度的轉換是線性關係：

只要知道攝氏度，就能直接計算華氏度，資料不會突然跳躍。

但在現實中，很多問題並不是線性的，比如股票價格、天氣變化、人的喜好……這時候，我們需要“非線性”方法。

2 什麼是非線性？（魔法迷宮）

在王國的另一邊，有一座魔法迷宮，通往城堡的道路不像橋那樣直通，而是充滿岔路、隱藏門和傳送門，旅人需要嘗試不同的路徑，才能找到最終的出口。

這就像非線性（non-lear）關係——輸出結果不會隨著輸入的變化呈現簡單的比例關係，而是可能有突變、拐彎、迴圈或複雜依賴。

數學上，非線性關係的公式可以是：

或者更復雜的：

這些公式中，變數被平方、取對數、做指數計算、加上三角函式，這導致輸出的變化不像直線那樣簡單，而是彎曲、非對稱，甚至可能有多個不同的結果。

非線性的特點

? 可以處理複雜關係：可以解決更現實的問題，比如分類、模式識別、複雜預測。

? 無法用簡單的數學公式直接計算：不像線性方程那樣能直接求解，非線性問題通常需要機器學習、神經網路、最佳化演算法來解決。

? 容易發生突變：在某些情況下，輸入的微小變化可能導致輸出發生劇烈變化（比如天氣變化、股市波動）。

現實世界中的非線性關係

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