第四十八章 我要交卷(第1/2 頁)

秦克刷刷刷地在試卷的答題區邊寫邊畫起來：

“解：把1，2，…，13按如下規則排成一個圓圈：先排1，在1旁邊放9（與1的差為8），在9的旁邊放4（與9的差為5），這樣繼續放下去，每個數旁邊的數與它相差8或5，最後得到如圖1所示的一個圈（1，9，4，12，7，2，10，5，13，8，3，11，6），圈上的數能同時滿足：”

“（1）每兩個相鄰的數的差或是8，或是5；

（2）兩個不相鄰的數的差既不等於5，也不等於8。

所以本題可以化歸為：在這個圈上，至多能選幾個數，使得每兩個數在圈上不相鄰。”

OK，搞定，完成化歸了。

這個化歸後的問題，是不是與他給寧青筠舉過的例子實質一模一樣了？

所以接下來秦克做起來毫無難度可言，直接將那例子的解法寫出來就行了。

“再畫一個圈，依次排上1，2，…，13，那麼可以選出6個數字，符合不相鄰的條件，比如1，3，5，7，9，11。見圖2。

接下來驗證最多可以選幾個數字。我們先任意選定數字1，這時與之相鄰的2，13都不能選了，把剩下的10個數字配成5對，分別是：（3，4）、（5，6）、（7，8）、（9，10）、（11，12）。在這5對數字中，每一對至多隻能選出1個數，也就是說，連同數字1在內，最多隻能選出6個數字，使它們互不相鄰。

由此可以得出本問題的答案是：6。”

秦克輕鬆加愉快，在五分鐘不到就搞定第一道附加題。

他看了眼窗外，不知道寧青筠有沒有想起這例題和能不能運用出化歸法，如果也能想起，那這25分她自然能穩穩收入囊中了。

加油吧，學委，我只能幫你到這裡了。

秦克又向看第二題，第二題也相當有難度，難怪能選為附加捲的大題。

“附加題2：設△ABC中，頂點A，B，C的對邊分別是a，b，c，內心I到頂點A，B，C的距離分別為m，n，l，求證：al^2+bm^2+^2=abc”

這一題看似條件不足無從下手，但秦克略一思索，便有了思路。

他決定用面積法來證明。

面積法最基本的思想，就是用兩種不同的方法計算同一個面積，得到的結果應該是相等的。

首先引入△ABC的外接圓半徑R，由正弦定理a/sinA=b/sinB=C=2R，

三角形面積S=(1/2)absinC

=(1/2)ab·c/2R

=abc/4R，

所以S=abc/4R。

再將△ABC分割為3個四邊形，ΔABC的面積S，顯然等於3個四邊形的面積之和S。

如此便將上面的S=abc/4R與3個四邊形面積之和，建立起面積等式。

再根據3個四邊形都有外接圓，且對角線相互垂直，用已知量來表示它們的面積並不會太難，再借助△ABC的外接圓半徑R可以消去角的正弦，不出意外，輕易就能證明這題的結論。

OK，開幹。

“證明：設△ABC內切圓與三邊BC，CA，AB分別相切於D，E，F，分別連線EF，EI，FI，DI，AI，分別得到AEIF，BFID，CDIE三個四邊形……”

“所以S△ABC =SAEIF+SBFID+SCDIE=（al^2+bm^2+^2）/4R，又因為S△ABC =abc/4R，由面積法可知兩種方法求得的S△ABC相等，由此得出al^2+bm^2+^2=abc”